मान लीजिए f(x) = intlimits_1^x frac{tan^{-1} | vedclass

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Question

(B) हमें $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{	an^{-1} t}{t} dt$ दिया गया है। हमें $f(e^2) - f\left(\frac{1}{e^2}ight) = \int_{1}^{e^2} \frac{	an^{-1} t}{t}

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$\pi$

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(B) हमें $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{	an^{-1} t}{t} dt$ दिया गया है। हमें $f(e^2) - f\left(\frac{1}{e^2}ight) = \int_{1}^{e^2} \frac{	an^{-1} t}{t} dt - \int_{1}^{1/e^2} \frac{	an^{-1} t}{t} dt$ का मान ज्ञात करना है। ध्यान दें कि $-\int_{1}^{1/e^2} \frac{	an^{-1} t}{t} dt = \int_{1/e^2}^{1} \frac{	an^{-1} t}{t} dt$ है। अतः,$f(e^2) - f\left(\frac{1}{e^2}ight) = \int_{1}^{e^2} \frac{	an^{-1} t}{t} dt + \int_{1/e^2}^{1} \frac{	an^{-1} t}{t} dt = \int_{1/e^2}^{e^2} \frac{	an^{-1} t}{t} dt$ है। मान लीजिए $I = \int_{1/e^2}^{e^2} \frac{	an^{-1} t}{t} dt$ है। गुणधर्म $\int_{a}^{b} g(t) dt = \int_{a}^{b} g\left(\frac{ab}{t}ight) dt$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $ab = (e^2)(1/e^2) = 1$ है,हमें $I = \int_{1/e^2}^{e^2} \frac{	an^{-1}(1/t)}{t} dt$ प्राप्त होता है। दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2I = \int_{1/e^2}^{e^2} \frac{	an^{-1} t + 	an^{-1}(1/t)}{t} dt$। चूँकि $t > 0$ के लिए $	an^{-1} t + 	an^{-1}(1/t) = \frac{\pi}{2}$ होता है,इसलिए $2I = \int_{1/e^2}^{e^2} \frac{\pi/2}{t} dt = \frac{\pi}{2} [\ln t]_{1/e^2}^{e^2} = \frac{\pi}{2} (\ln e^2 - \ln e^{-2}) = \frac{\pi}{2} (2 - (-2)) = \frac{\pi}{2} (4) = 2\pi$। अतः,$I = \frac{2\pi}{2} = \pi$।

मान लीजिए $f(x) = \int\limits_1^x \frac{\tan^{-1} t}{t} dt$ जहाँ $x > 0$ है। तो $f(e^2) - f\left(\frac{1}{e^2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए कि $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ और $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ सतत फलन हैं। तो समाकलन $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [f(x)+f(-x)][g(x)-g(-x)] \, dx$ का मान है

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ के लिए,$\int_{0}^{\sin^{2}x} \sin^{-1}(\sqrt{t}) \, dt + \int_{0}^{\cos^{2}x} \cos^{-1}(\sqrt{t}) \, dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,तो समाकलन $\int_{0}^{\pi} [\cos x] \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

समाकल $\int_{-2}^{2}(1+2 \sin x) e^{|x|} d x$ का मान किसके बराबर है?

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