ધારો કે f(x) = intlimits_1^x frac{tan^{-1} t} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપણને $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{	an^{-1} t}{t} dt$ આપેલ છે. આપણે $f(e^2) - f\left(\frac{1}{e^2}ight) = \int_{1}^{e^2} \frac{	an^{-1} t}{t} dt

Vedclass · Accepted Answer

$\pi$

Vedclass · Answer

(B) આપણને $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{	an^{-1} t}{t} dt$ આપેલ છે. આપણે $f(e^2) - f\left(\frac{1}{e^2}ight) = \int_{1}^{e^2} \frac{	an^{-1} t}{t} dt - \int_{1}^{1/e^2} \frac{	an^{-1} t}{t} dt$ ની ગણતરી કરવાની છે. નોંધો કે $-\int_{1}^{1/e^2} \frac{	an^{-1} t}{t} dt = \int_{1/e^2}^{1} \frac{	an^{-1} t}{t} dt$. તેથી,$f(e^2) - f\left(\frac{1}{e^2}ight) = \int_{1}^{e^2} \frac{	an^{-1} t}{t} dt + \int_{1/e^2}^{1} \frac{	an^{-1} t}{t} dt = \int_{1/e^2}^{e^2} \frac{	an^{-1} t}{t} dt$. ધારો કે $I = \int_{1/e^2}^{e^2} \frac{	an^{-1} t}{t} dt$. ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} g(t) dt = \int_{a}^{b} g\left(\frac{ab}{t}ight) dt$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $ab = (e^2)(1/e^2) = 1$,આપણને મળે છે $I = \int_{1/e^2}^{e^2} \frac{	an^{-1}(1/t)}{t} dt$. બંને પદોનો સરવાળો કરતા: $2I = \int_{1/e^2}^{e^2} \frac{	an^{-1} t + 	an^{-1}(1/t)}{t} dt$. કારણ કે $t > 0$ માટે $	an^{-1} t + 	an^{-1}(1/t) = \frac{\pi}{2}$,તેથી $2I = \int_{1/e^2}^{e^2} \frac{\pi/2}{t} dt = \frac{\pi}{2} [\ln t]_{1/e^2}^{e^2} = \frac{\pi}{2} (\ln e^2 - \ln e^{-2}) = \frac{\pi}{2} (2 - (-2)) = \frac{\pi}{2} (4) = 2\pi$. તેથી,$I = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

ધારો કે $f(x) = \int\limits_1^x \frac{\tan^{-1} t}{t} dt$ જ્યાં $x > 0$. તો $f(e^2) - f\left(\frac{1}{e^2}\right)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\int_0^{\infty} (x^{12} + x^{-12}) \frac{\log x}{x} dx =$

$\int_{\pi /4}^{3\pi /4} \frac{\phi}{1 + \sin \phi} \, d\phi$ નું મૂલ્ય શું છે?

$\int_3^6 \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{9-x}+\sqrt{x}} d x=$

$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{2 x}{1+\cos ^{2} x} d x=$

$x \in (0, \pi/2)$ માટે $\int_{0}^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \, dt + \int_{0}^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \, dt$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module