int_0^{pi} frac{dx}{4+3 cos x} = | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^{\pi} \frac{dx}{4+3 \cos x}$ है।प्रतिस्थापन $	an \frac{x}{2} = t$ का उपयोग करने पर,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$ और $\cos x = \frac{

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$\frac{\pi}{\sqrt{7}}$

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(B) माना $I = \int_0^{\pi} \frac{dx}{4+3 \cos x}$ है।प्रतिस्थापन $	an \frac{x}{2} = t$ का उपयोग करने पर,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$ और $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ प्राप्त होता है।जब $x$,$0$ से $\pi$ तक जाता है,तो $t$,$	an(0) = 0$ से $	an(\frac{\pi}{2}) = \infty$ तक जाता है।इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int_0^{\infty} \frac{\frac{2 dt}{1+t^2}}{4 + 3(\frac{1-t^2}{1+t^2})} = \int_0^{\infty} \frac{2 dt}{4(1+t^2) + 3(1-t^2)} = \int_0^{\infty} \frac{2 dt}{4 + 4t^2 + 3 - 3t^2} = \int_0^{\infty} \frac{2 dt}{7 + t^2}$।मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a} 	an^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:$I = 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{7}} 	an^{-1}(\frac{t}{\sqrt{7}}) ight]_0^{\infty} = \frac{2}{\sqrt{7}} [	an^{-1}(\infty) - 	an^{-1}(0)]$।चूंकि $	an^{-1}(\infty) = \frac{\pi}{2}$ और $	an^{-1}(0) = 0$ है:$I = \frac{2}{\sqrt{7}} 	imes \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{\sqrt{7}}$।

$\int_0^{\pi} \frac{dx}{4+3 \cos x} = $

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