$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{e^x(x \sin x)}{e^{2x}-1} dx =$

यदि $f(x) = \int\limits_0^x {2(\cos^2 3t + 3\sin^2 3t)dt}$ है,तो $f(x + \pi)$ का मान क्या होगा?

यदि समाकलन $\int_{0}^{10} \frac{[\sin 2 \pi x ]}{ e ^{ x -[ x ]}} dx =\alpha e ^{-1}+\beta e ^{-\frac{1}{2}}+\gamma$ है,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma$ पूर्णांक हैं और $[ x ]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $x$ से कम या उसके बराबर है,तो $\alpha+\beta+\gamma$ का मान ........ है।

मान लीजिए कि $f(x)$ सभी वास्तविक $x$ के लिए धनात्मक है। यदि $I_1 = \int_{1-h}^{h} x f(x(1-x)) dx$ और $I_2 = \int_{1-h}^{h} f(x(1-x)) dx$,जहाँ $(2h-1) > 0$,तो $\frac{I_1}{I_2}$ का मान क्या है?

$\int_{-2}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{[\frac{x}{\pi}] + \frac{1}{2}} \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए। (जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है।)

$\int_0^{\pi / 2} \log _e(\sin 2 x) d x$