int_{-pi}^pi frac{x sin x}{1+cos ^2 x} d x= | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x}$.$f(-x) = \frac{(-x) \sin(-x)}{1+\cos^2(-x)} = \frac{(-x)(-\sin x)}{1+\cos^2 x} = f(x)$ હોવાથી,વિધેય ય

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi^2}{2}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x}$.$f(-x) = \frac{(-x) \sin(-x)}{1+\cos^2(-x)} = \frac{(-x)(-\sin x)}{1+\cos^2 x} = f(x)$ હોવાથી,વિધેય યુગ્મ (even) છે.ગુણધર્મ $\int_{-a}^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = 2 \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx$.ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = 2 \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin(\pi-x)}{1+\cos^2(\pi-x)} dx = 2 \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx$.બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:$2I = 2 \int_0^\pi \frac{\pi \sin x}{1+\cos^2 x} dx \Rightarrow I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.ધારો કે $t = \cos x$,તેથી $dt = -\sin x dx$. સીમાઓ $0$ થી $\pi$ બદલાઈને $1$ થી $-1$ થશે.$I = \pi \int_1^{-1} \frac{-dt}{1+t^2} = \pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1+t^2} = 2\pi \int_0^1 \frac{dt}{1+t^2}$.$I = 2\pi [	an^{-1} t]_0^1 = 2\pi (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi^2}{2}$.

$\int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x} d x=$

Similar Questions

$\int_{-1}^{\frac{3}{2}}|x \sin (\pi x)| d x=$

$\int_{2 - \log 3}^{3 + \log 3} \frac{\log (4 + x)}{\log (4 + x) + \log (9 - x)} \, dx = $

$\int_{-1}^1 \frac{\sqrt{1+x+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}}{\sqrt{1+x+x^2}+\sqrt{1-x+x^2}} dx$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(5-x)=f(x)$ અને $\int_2^3 f(x) dx=2$ હોય,તો $\int_2^3 x f(x) dx=$

ધારો કે $g(t) = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos \left(\frac{\pi}{4} t + f(x)\right) \, dx$,જ્યાં $f(x) = \log_e \left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$,$x \in R$. તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module