एक वक्र बिंदु left(1, frac{pi}{6}right) से हो | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sec \left(\frac{y}{x}\right)$.यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $v = \frac{y}{x}$,इसलि

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$\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log x + \frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sec \left(\frac{y}{x}\right)$.यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.समीकरण में मान रखने पर:$v + x \frac{dv}{dx} = v + \sec v$$x \frac{dv}{dx} = \sec v$$\cos v \, dv = \frac{1}{x} \, dx$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\int \cos v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx$$\sin v = \log x + C$.$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:$\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log x + C$.वक्र बिंदु $\left(1, \frac{\pi}{6}\right)$ से गुजरता है,इसलिए:$\sin \left(\frac{\pi/6}{1}\right) = \log(1) + C$$\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = 0 + C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$.अतः,वक्र का समीकरण $\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log x + \frac{1}{2}$ है।

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यदि एक वक्र $y=f(x),$ जो बिंदु $(1,2)$ से होकर गुजरता है,अवकल समीकरण $2 x^{2} dy=\left(2 xy+y^{2}\right) dx$ का हल है,तो $f\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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