frac{{^nC_0}}{1} + frac{{^nC_2}}{3} + frac{{^ | vedclass

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Question

(C) माना $S = \sum_{k=0, 2, 4, \dots} \frac{{^nC_k}}{k+1}$.सर्वसमिका $\frac{{^nC_k}}{k+1} = \frac{1}{n+1} {^{n+1}C_{k+1}}$ का उपयोग करने पर:$S = \frac

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$\frac{{2^n}}{n+1}$

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(C) माना $S = \sum_{k=0, 2, 4, \dots} \frac{{^nC_k}}{k+1}$.सर्वसमिका $\frac{{^nC_k}}{k+1} = \frac{1}{n+1} {^{n+1}C_{k+1}}$ का उपयोग करने पर:$S = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0, 2, 4, \dots} {^{n+1}C_{k+1}}$.माना $N = n+1$. तब $S = \frac{1}{N} \sum_{j=1, 3, 5, \dots} {^NC_j}$.विषम-अनुक्रमित द्विपद गुणांकों का योग $2^{N-1}$ होता है।अतः,$S = \frac{1}{N} \cdot 2^{N-1} = \frac{{2^n}}{n+1}$.सत्यापन: $n=2$ के लिए,$S = \frac{{^2C_0}}{1} + \frac{{^2C_2}}{3} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.विकल्प $(c)$ से $\frac{{2^2}}{2+1} = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है,जो सही है।

$\frac{{^nC_0}}{1} + \frac{{^nC_2}}{3} + \frac{{^nC_4}}{5} + \frac{{^nC_6}}{7} + \dots = $

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यदि $C_r = { }^n C_r$ है,तो $C_0 + C_4 + C_8 + C_{12} + \ldots$ का योग ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $(1 + x)^m = C_0 + C_1x + C_2x^2 + C_3x^3 + . . . + C_mx^m$,जहाँ $C_r = {}^mC_r$ और $A = C_1C_3 + C_2C_4 + C_3C_5 + . . . + C_{m-2}C_m$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा असत्य है?

$^{15}C_3 + ^{15}C_5 + \ldots + ^{15}C_{15} = ?$

यदि $(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r$ है,तो $C_0 + (C_0 + C_1) + (C_0 + C_1 + C_2) + \ldots + (C_0 + C_1 + C_2 + \ldots + C_n)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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