int frac{d x}{xleft(x^2+1right)}= | vedclass

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Question

(A) समाकलन $I = \int \frac{dx}{x(x^2+1)}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हैं। मान लीजिए $\frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \

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$\log |x|-\frac{1}{2} \log \left(x^2+1\right)+c$,जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है।

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(A) समाकलन $I = \int \frac{dx}{x(x^2+1)}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हैं। मान लीजिए $\frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$. $x(x^2+1)$ से गुणा करने पर,हमें $1 = A(x^2+1) + (Bx+C)x$ प्राप्त होता है। $1 = (A+B)x^2 + Cx + A$. गुणांकों की तुलना करने पर,$A=1$,$C=0$,और $A+B=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $B=-1$. अतः,$\frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$I = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{x}{x^2+1} dx$. दूसरे समाकलन के लिए,मान लीजिए $u = x^2+1$,तो $du = 2x dx$,इसलिए $x dx = \frac{du}{2}$. $I = \log |x| - \frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \log |x| - \frac{1}{2} \log |x^2+1| + c$. चूंकि $x^2+1 > 0$,हम इसे $\log |x| - \frac{1}{2} \log (x^2+1) + c$ के रूप में लिख सकते हैं।

$\int \frac{d x}{x\left(x^2+1\right)}=$

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$\int \frac{x^{2}+1}{(x-3)(x-2)} d x = P x + Q \log |x-3| + R \log |x-2| + c$,जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है,तो $P, Q, R$ के मान क्रमशः क्या होंगे?

$\int \frac{3x-2}{(x+1)(x-2)^2} dx = $ (जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है।)

परिमेय फलन का समाकलन कीजिए: $\frac{3x+5}{x^{3}-x^{2}-x+1}$

$\int \frac{dx}{e^x + 1 - 2e^{-x}} = $

$\int \frac{x^3-1}{x^3+x} dx =$

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