int frac{e^{tan ^{-1} x}}{1+x^2}left[left(sec | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \frac{e^{	an ^{-1} x}}{1+x^2}\left[\left(\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2}ight)^2+\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}ight)ight] d x$ ह

Vedclass · Accepted Answer

$(	an ^{-1} x)^2 e^{	an ^{-1} x}+c$,जहाँ $c$ एक समाकलन स्थिरांक है।

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int \frac{e^{	an ^{-1} x}}{1+x^2}\left[\left(\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2}ight)^2+\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}ight)ight] d x$ है। $x = 	an t$ रखने पर,$dx = \sec^2 t \, dt$ प्राप्त होता है। चूँकि $x > 0$,$t = 	an^{-1} x \in (0, \pi/2)$ है। अतः $\sec^{-1} \sqrt{1+x^2} = \sec^{-1}(\sec t) = t$ और $\cos^{-1}(\frac{1-x^2}{1+x^2}) = \cos^{-1}(\cos 2t) = 2t$ है। इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{e^t}{1+	an^2 t} [t^2 + 2t] \sec^2 t \, dt = \int e^t (t^2 + 2t) \, dt$। सूत्र $\int e^t (f(t) + f'(t)) \, dt = e^t f(t) + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = t^2$ और $f'(t) = 2t$ है: $I = e^t \cdot t^2 + c = e^{	an^{-1} x} (	an^{-1} x)^2 + c$।

$\int \frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2}\left[\left(\sec ^{-1} \sqrt{1+x^2}\right)^2+\cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right] d x$,जहाँ $x>0$ है,का मान है

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$\int \left( \frac{2 - \sin 2x}{1 - \cos 2x} \right) e^x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int e^x \left( \frac{x-1}{x^2} \right) dx =$

$\int_1^2 {{e^x}\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\,dx = } $

$\int e^{x} \sec x(1+\tan x) dx =$

मान लीजिए $f(t) = \int \left( \frac{1 - \sin(\ln t)}{1 - \cos(\ln t)} \right) dt$, $t > 1$ के लिए। यदि $f(e^{\pi/2}) = -e^{\pi/2}$ और $f(e^{\pi/4}) = \alpha e^{\pi/4}$ है, तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

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