int left( frac{2 - sin 2x}{1 - cos 2x} right) | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \left( \frac{2 - \sin 2x}{1 - \cos 2x} \right) e^x \, dx$ है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ और $1 - \cos 2x

Vedclass · Accepted Answer

$-e^x \cot x + c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \left( \frac{2 - \sin 2x}{1 - \cos 2x} \right) e^x \, dx$ है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ और $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ का उपयोग करने पर: $I = \int \left( \frac{2 - 2 \sin x \cos x}{2 \sin^2 x} \right) e^x \, dx$ $I = \int \left( \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{\sin x \cos x}{\sin^2 x} \right) e^x \, dx$ $I = \int (\operatorname{cosec}^2 x - \cot x) e^x \, dx$ $I = \int e^x \operatorname{cosec}^2 x \, dx - \int e^x \cot x \, dx$ प्राप्त होता है। प्रथम समाकलन $\int e^x \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: माना $u = \cot x$,तब $du = -\operatorname{cosec}^2 x \, dx$। $\int e^x \operatorname{cosec}^2 x \, dx = e^x(-\cot x) - \int e^x(-\cot x) \, dx = -e^x \cot x + \int e^x \cot x \, dx$। इस मान को $I$ में प्रतिस्थापित करने पर: $I = (-e^x \cot x + \int e^x \cot x \, dx) - \int e^x \cot x \, dx + c$ $I = -e^x \cot x + c$।

$\int \left( \frac{2 - \sin 2x}{1 - \cos 2x} \right) e^x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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