lim _{n rightarrow infty} frac{1}{n^3+1}+frac | vedclass

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Question

(B) दी गई अभिव्यक्ति $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2}{n^3+1}$ है।चूंकि हर $n^3+1$,$k$ से स्वतंत्र है,इसलिए हम $S_n = \frac{1}{n^3+1} \sum_{k=1}^{n} k^

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$\frac{1}{3}$

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(B) दी गई अभिव्यक्ति $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2}{n^3+1}$ है।चूंकि हर $n^3+1$,$k$ से स्वतंत्र है,इसलिए हम $S_n = \frac{1}{n^3+1} \sum_{k=1}^{n} k^2$ लिख सकते हैं।प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र उपयोग करने पर,$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ प्राप्त होता है।अतः,$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6(n^3+1)}$।$n \rightarrow \infty$ के लिए सीमा ज्ञात करने पर,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3+6}$ प्राप्त होता है।अंश और हर को $n^3$ से विभाजित करने पर,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{6 + \frac{6}{n^3}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3+1}+\frac{4}{n^3+1}+\frac{9}{n^3+1}+\ldots+\frac{n^2}{n^3+1} = $

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$\operatorname{Lt}_{x \rightarrow 0} \left( \frac{1+5x^2}{1+3x^2} \right)^{\frac{1}{x^2}}$ का मान है

$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+6}{x+1}\right)^{x+4}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(e^{k x}-1\right) \sin k x}{x^{2}}=4$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin[x]}{[x]}, & [x] \neq 0 \\ 0, & [x] = 0 \end{cases}$ जहाँ $[x]$,$x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है,तो $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ है:

सीमा का मान ज्ञात कीजिए: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } [x({a^{1/x}} - 1)]$,जहाँ $a > 1$.

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