int e^x left( frac{1 + sin x}{1 + cos x} righ | vedclass

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Question

(B) हम जानते हैं कि $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C$. दिया गया समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \right) dx$ है। त्

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$e^x 	an \frac{x}{2}$

Vedclass · Answer

(B) हम जानते हैं कि $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C$. दिया गया समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} ight) dx$ है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर: $1 + \sin x = 1 + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ और $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$. अतः,$\frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} = \frac{1 + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} + 	an \frac{x}{2}$. माना $f(x) = 	an \frac{x}{2}$. तब $f'(x) = \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}$. इस प्रकार,समाकलन $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C = e^x 	an \frac{x}{2} + C$ हो जाता है। अतः,सही विकल्प $B$ है।

$\int e^x \left( \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \right) dx = $ . . . . . . $+ C$.

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