int e^{sin x} cdot left(frac{sin x+1}{sec x} | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int e^{\sin x} \cdot \left(\frac{\sin x+1}{\sec x}\right) d x$.चूंकि $\frac{1}{\sec x} = \cos x$,हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:$I

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$ \sin x \cdot e^{\sin x}+C $

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int e^{\sin x} \cdot \left(\frac{\sin x+1}{\sec x}\right) d x$.चूंकि $\frac{1}{\sec x} = \cos x$,हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:$I = \int e^{\sin x} (\sin x + 1) \cos x \, dx$.माना $u = \sin x$,तो $du = \cos x \, dx$.इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int e^u (u + 1) \, du$.$I = \int (u e^u + e^u) \, du$.खंडशः समाकलन (integration by parts) के सूत्र $\int (f(u) + f'(u)) e^u \, du = e^u f(u) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(u) = u$ और $f'(u) = 1$ है:$I = e^u \cdot u + C$.$u = \sin x$ वापस रखने पर:$I = \sin x \cdot e^{\sin x} + C$.

$ \int e^{\sin x} \cdot \left(\frac{\sin x+1}{\sec x}\right) d x $ का मान ज्ञात कीजिए।

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अभिकथन $(A)$: $\int_2^e \left(\frac{1}{\log_e x} - \frac{1}{(\log_e x)^2}\right) dx = e - 2 \log_2 e$
तर्क $(R)$: $\int_a^b e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^b f(b) - e^a f(a)$

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