int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{sin ^{1000} x}{si | vedclass

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Question

(D) माना $ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{1000} x}{\sin ^{1000} x+\cos ^{1000} x} \, dx $। गुणधर्म $ \int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a}

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$ \frac{\pi}{4} $

Vedclass · Answer

(D) माना $ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{1000} x}{\sin ^{1000} x+\cos ^{1000} x} \, dx $। गुणधर्म $ \int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx $ का उपयोग करने पर: $ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{1000} (\frac{\pi}{2}-x)}{\sin ^{1000} (\frac{\pi}{2}-x)+\cos ^{1000} (\frac{\pi}{2}-x)} \, dx $ चूंकि $ \sin(\frac{\pi}{2}-x) = \cos x $ और $ \cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin x $,इसलिए: $ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{1000} x}{\cos ^{1000} x+\sin ^{1000} x} \, dx $ $ I $ के दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $ 2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{1000} x + \cos ^{1000} x}{\sin ^{1000} x+\cos ^{1000} x} \, dx $ $ 2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} $ अतः,$ I = \frac{\pi}{4} $।

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{1000} x}{\sin ^{1000} x+\cos ^{1000} x} \, dx $ का मान ज्ञात कीजिए।

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