intlimits_{ - a}^a {f(x),dx} = | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int\limits_{-a}^a f(x)\,dx$. गुणधर्म $\int\limits_a^b f(x)\,dx = \int\limits_a^b f(a+b-x)\,dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $I

Vedclass · Accepted Answer

$\int\limits_0^a {[f(x) + f(-x)]\,dx}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int\limits_{-a}^a f(x)\,dx$. गुणधर्म $\int\limits_a^b f(x)\,dx = \int\limits_a^b f(a+b-x)\,dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int\limits_{-a}^a f(-x)\,dx$. $I$ के लिए इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2I = \int\limits_{-a}^a [f(x) + f(-x)]\,dx$. चूंकि फलन $g(x) = f(x) + f(-x)$ एक सम फलन है (क्योंकि $g(-x) = f(-x) + f(x) = g(x)$),इसलिए हम लिख सकते हैं: $2I = 2\int\limits_0^a [f(x) + f(-x)]\,dx$. $2$ से भाग देने पर,हमें $I = \int\limits_0^a [f(x) + f(-x)]\,dx$ प्राप्त होता है। अतः,सही विकल्प $A$ है।

$\int\limits_{ - a}^a {f(x)\,dx} = $

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यदि $f$ और $g$ अंतराल $[0, a]$ में सतत फलन हैं जो $f(x) = f(a - x)$ और $g(x) + g(a - x) = 4$ को संतुष्ट करते हैं,तो $\int_{0}^{a} f(x) g(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{\pi} \log(\sin^2 x) \, dx = $

$\int_0^{\pi /2} \log(\sin x) \, dx = $

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x+\cos x}{3+\sin 2 x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2 \cos x}{1+e^x} d x$ का मान क्या है?

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