એક વર્તુળ રેખા $2x + y - 10 = 0$ ને $(3, 4)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે અને $(1, -2)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. તો વર્તુળ પર આવેલું બિંદુ કયું છે?

ધારો કે એક વર્તુળ $S = 0$ એ બંને વર્તુળો $x^2 + y^2 = 400$ અને $x^2 + y^2 - 10x - 24y + 120 = 0$ ને બહારથી સ્પર્શે છે અને $x$-અક્ષને પણ સ્પર્શે છે. વર્તુળ $S = 0$ ની ત્રિજ્યા કેટલી છે?

$A(x_1, y_1)$ એ બે વર્તુળો $C_1$ અને $C_2$ નું આંતરિક સમાનતા કેન્દ્ર છે અને $B(x_2, y_2)$ એ બાહ્ય સમાનતા કેન્દ્ર છે,જેના કેન્દ્રો અનુક્રમે $P(\alpha, \beta)$ અને $Q(\gamma, \delta)$ છે. જો $PA=3, AB=5, QB=2$ હોય,તો બે વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર શોધો:

બિંદુ $P(16, 7)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$ પર બે સ્પર્શકો $PQ$ અને $PR$ દોરવામાં આવ્યા છે. જો વર્તુળનું કેન્દ્ર $C$ હોય,તો ચતુષ્કોણ $PQCR$ નું ક્ષેત્રફળ ............ $sq. \text{ units}$ થશે.

વર્તુળ $C_1: x^2+y^2=3$,જેનું કેન્દ્ર $O$ છે,તે પરવલય $x^2=2y$ ને પ્રથમ ચરણમાં બિંદુ $P$ પર છેદે છે. ધારો કે $P$ આગળ વર્તુળ $C_1$ ને સ્પર્શક અન્ય બે વર્તુળો $C_2$ અને $C_3$ ને અનુક્રમે $R_2$ અને $R_3$ પર સ્પર્શે છે. ધારો કે $C_2$ અને $C_3$ ની ત્રિજ્યા સમાન $2\sqrt{3}$ છે અને તેમના કેન્દ્રો અનુક્રમે $Q_2$ અને $Q_3$ છે. જો $Q_2$ અને $Q_3$ એ $y$-અક્ષ પર આવેલા હોય,તો:
$(A)$ $Q_2Q_3=12$
$(B)$ $R_2R_3=4\sqrt{6}$
$(C)$ ત્રિકોણ $OR_2R_3$ નું ક્ષેત્રફળ $6\sqrt{2}$ છે
$(D)$ ત્રિકોણ $PQ_2Q_3$ નું ક્ષેત્રફળ $4\sqrt{2}$ છે

આપેલ છે: એક વર્તુળ $2x^2 + 2y^2 = 5$ અને પરવલય $y^2 = 4\sqrt{5}x$.
વિધાન-$1$: આ વક્રો માટે સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = x + \sqrt{5}$ છે.
વિધાન-$2$: જો રેખા $y = mx + \frac{\sqrt{5}}{m} (m \neq 0)$ તેમનો સામાન્ય સ્પર્શક હોય,તો $m$ એ $m^4 - 3m^2 + 2 = 0$ નું સમાધાન કરે છે.