$r$ એકમ લંબાઈનો એક સળિયો તેના છેડાઓ સાથે યામ અક્ષો પર સરકે છે. તો સળિયાના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ એ એક વક્ર છે જેની લંબાઈ કેટલી થાય?

ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક ચલ જીવા વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2ax = 0$ પર દોરવામાં આવે છે. આ જીવાને વ્યાસ તરીકે લઈને દોરેલા વર્તુળના કેન્દ્રનો બિંદુપથ શોધો.

$\lambda$ ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યોનો ગણ શોધો જેના માટે બિંદુ $P(\lambda, \lambda^2)$ એ $x - y = 0$, $x + y - 2 = 0$ અને $x + 3 = 0$ રેખાઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણની અંદર ન હોય:

ધારો કે $A = (a, 0)$ અને $B = (-a, 0)$ બે અચળ બિંદુઓ છે. $a \in (-\infty, 0)$ માટે,બિંદુ $P$ સમતલમાં એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી $PA = nPB$ $(n \neq 0, 1)$ થાય. જો $P$ નો બિંદુપથ વર્તુળ હોય,તો તે વર્તુળ:

$2a$ અને $2b$ લંબાઈના બે સીધા સળિયા યામ અક્ષો પર એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી તેમના અંતિમ બિંદુઓ હંમેશા એક જ વર્તુળ પર હોય. તો આવા વર્તુળોના કેન્દ્રોનો બિંદુપથ શું છે?

ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી દોરવામાં આવેલા વર્તુળ $x^2+(y-1)^2=1$ ની જીવાઓના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ રેખા $x+y=1$ ને $P$ અને $Q$ માં છેદે છે. તો,$PQ$ ની લંબાઈ શોધો.