cot left[sum_{n=3}^{32} cot ^{-1}left(1+sum_{ | vedclass

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Question

(A) हम जानते हैं कि $\sum_{k=1}^n 2k = 2 	imes \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\cot \left[\sum_{n=3}^{32} \cot ^{-1}(1+

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$\frac{10}{3}$

Vedclass · Answer

(A) हम जानते हैं कि $\sum_{k=1}^n 2k = 2 	imes \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\cot \left[\sum_{n=3}^{32} \cot ^{-1}(1+n(n+1))ight]$ प्राप्त होता है।सर्वसमिका $\cot^{-1}(x) = 	an^{-1}(\frac{1}{x})$ का उपयोग करते हुए,$\cot^{-1}(1+n(n+1)) = 	an^{-1}\left(\frac{1}{1+n(n+1)}ight)$ होता है।चूंकि $\frac{1}{1+n(n+1)} = \frac{(n+1)-n}{1+(n+1)n}$,हम इसे $	an^{-1}(n+1) - 	an^{-1}(n)$ के रूप में लिख सकते हैं।अतः,योग $\sum_{n=3}^{32} [	an^{-1}(n+1) - 	an^{-1}(n)]$ बन जाता है।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $(	an^{-1} 4 - 	an^{-1} 3) + (	an^{-1} 5 - 	an^{-1} 4) + \dots + (	an^{-1} 33 - 	an^{-1} 32)$.पदों के कटने के बाद,हमारे पास $	an^{-1} 33 - 	an^{-1} 3$ शेष रहता है।सूत्र $	an^{-1} x - 	an^{-1} y = 	an^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}ight)$ का उपयोग करते हुए,$	an^{-1}\left(\frac{33-3}{1+33 	imes 3}ight) = 	an^{-1}\left(\frac{30}{100}ight) = 	an^{-1}\left(\frac{3}{10}ight)$ प्राप्त होता है।अंत में,हमें $\cot(	an^{-1}(\frac{3}{10}))$ का मान ज्ञात करना है।चूंकि $\cot(	an^{-1}(x)) = \frac{1}{x}$,इसलिए $\cot(	an^{-1}(\frac{3}{10})) = \frac{10}{3}$।अतः,सही विकल्प $A$ है।

$\cot \left[\sum_{n=3}^{32} \cot ^{-1}\left(1+\sum_{k=1}^n 2 k\right)\right]=$

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$\sec ^2(\tan ^{-1} 2)+\operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 3) = $

यदि $0 < x < 1$ और $\tan ^{-1}(1-x), \tan ^{-1} x$ तथा $\tan ^{-1}(1+x)$ समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में हैं,तो $x^3$ का मान : . . . . . . है।

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