int sqrt{1+2 cot x(cot x+operatorname{cosec} | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \sqrt{1+2 \cot x(\cot x+\operatorname{cosec} x)} \, dx$. चूंकि $1 = \operatorname{cosec}^2 x - \cot^2 x$,इसलिए: $I = \int \sqrt{\op

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$2 \log \left(\sin \frac{x}{2}\right)+C$

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(A) माना $I = \int \sqrt{1+2 \cot x(\cot x+\operatorname{cosec} x)} \, dx$. चूंकि $1 = \operatorname{cosec}^2 x - \cot^2 x$,इसलिए: $I = \int \sqrt{\operatorname{cosec}^2 x - \cot^2 x + 2 \cot^2 x + 2 \cot x \operatorname{cosec} x} \, dx$ $I = \int \sqrt{\operatorname{cosec}^2 x + \cot^2 x + 2 \cot x \operatorname{cosec} x} \, dx$ $I = \int \sqrt{(\operatorname{cosec} x + \cot x)^2} \, dx$ $I = \int (\operatorname{cosec} x + \cot x) \, dx$ मानक समाकलनों $\int \operatorname{cosec} x \, dx = \log |\operatorname{cosec} x - \cot x|$ और $\int \cot x \, dx = \log |\sin x|$ का उपयोग करने पर: $I = \log |\operatorname{cosec} x - \cot x| + \log |\sin x| + C$ $I = \log \left| \frac{1 - \cos x}{\sin x} \cdot \sin x \right| + C$ $I = \log |1 - \cos x| + C$ सर्वसमिका $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर: $I = \log |2 \sin^2 \frac{x}{2}| + C$ $I = \log 2 + 2 \log |\sin \frac{x}{2}| + C$ चूंकि $\log 2$ एक स्थिरांक है,इसे $C$ में समाहित किया जा सकता है: $I = 2 \log |\sin \frac{x}{2}| + C$

$\int \sqrt{1+2 \cot x(\cot x+\operatorname{cosec} x)} \, dx = $

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$\int \frac{e^{2030 \log x}-e^{2029 \log x}}{e^{2028 \log x}-e^{2027 \log x}} \,d x = \dots$

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