int frac{x}{left(1-x^2right) sqrt{2-x^2}} d x | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{x}{(1-x^2) \sqrt{2-x^2}} dx$. $t = \sqrt{2-x^2}$ प्रतिस्थापित करने पर। तब $t^2 = 2-x^2$,जिसका अर्थ है $x^2 = 2-t^2$. दोनों पक

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$\frac{1}{2} \log \left|\frac{1+\sqrt{2-x^2}}{1-\sqrt{2-x^2}}\right|+c$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \frac{x}{(1-x^2) \sqrt{2-x^2}} dx$. $t = \sqrt{2-x^2}$ प्रतिस्थापित करने पर। तब $t^2 = 2-x^2$,जिसका अर्थ है $x^2 = 2-t^2$. दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$2t dt = -2x dx$,अतः $x dx = -t dt$. इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int \frac{-t dt}{(1-(2-t^2)) t} = \int \frac{-dt}{t^2-1} = \int \frac{dt}{1-t^2}$. मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dt}{a^2-t^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+t}{a-t} \right| + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a=1$: $I = \frac{1}{2} \log \left| \frac{1+t}{1-t} \right| + c$. $t = \sqrt{2-x^2}$ वापस रखने पर: $I = \frac{1}{2} \log \left| \frac{1+\sqrt{2-x^2}}{1-\sqrt{2-x^2}} \right| + c$. अतः,सही विकल्प $C$ है।

$\int \frac{x}{\left(1-x^2\right) \sqrt{2-x^2}} d x=$

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