int sin ^3 x cos ^2 x , dx = | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \sin^3 x \cos^2 x \, dx$ है। हम $\sin^3 x$ को $\sin^2 x \cdot \sin x = (1 - \cos^2 x) \sin x$ के रूप में लिख सकते हैं। अतः,$I = \in

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\sin ^4 x \cos x}{5} - \frac{\sin ^2 x \cos x}{15} - \frac{2 \cos x}{15} + c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \sin^3 x \cos^2 x \, dx$ है। हम $\sin^3 x$ को $\sin^2 x \cdot \sin x = (1 - \cos^2 x) \sin x$ के रूप में लिख सकते हैं। अतः,$I = \int (1 - \cos^2 x) \cos^2 x \sin x \, dx$। माना $u = \cos x$,तब $du = -\sin x \, dx$,या $\sin x \, dx = -du$। समाकलन में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int (1 - u^2) u^2 (-du) = \int (u^4 - u^2) \, du$। $u$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $I = \frac{u^5}{5} - \frac{u^3}{3} + c$। $u = \cos x$ वापस रखने पर: $I = \frac{\cos^5 x}{5} - \frac{\cos^3 x}{3} + c$। चूंकि दिए गए विकल्प $\sin x$ और $\cos x$ के रूप में हैं,विकल्प $A$ का अवकलन करने पर हमें मूल फलन प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $A$ सही उत्तर है।

$\int \sin ^3 x \cos ^2 x \, dx =$

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यदि $\int \frac{\cos 3x}{\sin x} dx = p \cos 2x + q \log |\sin x| + C$ है,तो $p + q =$ . . . . . . .

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