int(1-cos x) operatorname{cosec}^2 x , dx का | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int (1 - \cos x) \operatorname{cosec}^2 x \, dx$. सर्वसमिका $1 - \cos x = 2 \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)$ और $\operatorname{cosec}^2

Vedclass · Accepted Answer

$	an \left(\frac{x}{2}ight)+C$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int (1 - \cos x) \operatorname{cosec}^2 x \, dx$. सर्वसमिका $1 - \cos x = 2 \sin^2 \left(\frac{x}{2}ight)$ और $\operatorname{cosec}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$ का उपयोग करने पर: $I = \int 2 \sin^2 \left(\frac{x}{2}ight) \cdot \frac{1}{\sin^2 x} \, dx$. हम जानते हैं कि $\sin x = 2 \sin \left(\frac{x}{2}ight) \cos \left(\frac{x}{2}ight)$,इसलिए $\sin^2 x = 4 \sin^2 \left(\frac{x}{2}ight) \cos^2 \left(\frac{x}{2}ight)$. इस मान को समाकलन में रखने पर: $I = \int \frac{2 \sin^2 \left(\frac{x}{2}ight)}{4 \sin^2 \left(\frac{x}{2}ight) \cos^2 \left(\frac{x}{2}ight)} \, dx$. $I = \int \frac{1}{2 \cos^2 \left(\frac{x}{2}ight)} \, dx = \frac{1}{2} \int \sec^2 \left(\frac{x}{2}ight) \, dx$. $\sec^2 \left(\frac{x}{2}ight)$ का समाकलन $2 	an \left(\frac{x}{2}ight)$ होता है। $I = \frac{1}{2} \cdot 2 	an \left(\frac{x}{2}ight) + C = 	an \left(\frac{x}{2}ight) + C$.

$\int(1-\cos x) \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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