int frac{dx}{x(x^2+1)^3} = ? | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{dx}{x(x^2+1)^3}$. अंश और हर को $x$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{x dx}{x^2(x^2+1)^3}$. माना $x^2 = t$,तब $2x dx = dt$,इसलि

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$\frac{1}{2(x^2+1)} + \frac{1}{4(x^2+1)^2} + \log \sqrt{\frac{x^2}{x^2+1}} + c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{dx}{x(x^2+1)^3}$. अंश और हर को $x$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{x dx}{x^2(x^2+1)^3}$. माना $x^2 = t$,तब $2x dx = dt$,इसलिए $x dx = \frac{dt}{2}$. $I = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t(t+1)^3}$. आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{t(t+1)^3} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t+1} + \frac{C}{(t+1)^2} + \frac{D}{(t+1)^3}$. स्थिरांकों के लिए हल करने पर: $A=1, B=-1, C=-1, D=-1$. $I = \frac{1}{2} [\int \frac{1}{t} dt - \int \frac{1}{t+1} dt - \int \frac{1}{(t+1)^2} dt - \int \frac{1}{(t+1)^3} dt]$. $I = \frac{1}{2} [\log|t| - \log|t+1| + \frac{1}{t+1} + \frac{1}{2(t+1)^2}] + c$. $t = x^2$ प्रतिस्थापित करने पर: $I = \frac{1}{2} \log \frac{x^2}{x^2+1} + \frac{1}{2(x^2+1)} + \frac{1}{4(x^2+1)^2} + c$. $I = \log \sqrt{\frac{x^2}{x^2+1}} + \frac{1}{2(x^2+1)} + \frac{1}{4(x^2+1)^2} + c$.

$\int \frac{dx}{x(x^2+1)^3} = ?$

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$\int \frac{5 x^2+3}{x^2\left(x^2-2\right)} d x=$

मान लीजिए $f(x) = \int \frac{2x}{(x^2+1)(x^2+3)} dx$. यदि $f(3) = \frac{1}{2}(\log_e 5 - \log_e 6)$ है,तो $f(4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

परिमेय फलन का समाकलन कीजिए: $\frac{x}{(x-1)(x-2)(x-3)}$

यदि $\int \frac{2x+3}{(x-1)(x^2+1)} dx = \log_e {(x-1)^{\frac{5}{2}}(x^2+1)^a} - \frac{1}{2} \tan^{-1} x + A$ जहाँ $A$ एक स्वेच्छ अचर है,तो $a$ का मान है

$\int \frac{e^x}{(2+e^x)(e^x+1)} dx =$ (जहाँ $C$ एक समाकलन स्थिरांक है।)

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