int frac{x-1}{(x+1) sqrt{x^3+x^2+x}} d x= | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{x-1}{(x+1) \sqrt{x^3+x^2+x}} d x$. अंश और हर को $x^2$ से भाग देने पर: $I = \int \frac{x-1}{(x+1) \sqrt{x^2(x+1+\frac{1}{x})}}

Vedclass · Accepted Answer

$2 	an ^{-1}\left(\sqrt{\frac{1+x+x^2}{x}}ight)+c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{x-1}{(x+1) \sqrt{x^3+x^2+x}} d x$. अंश और हर को $x^2$ से भाग देने पर: $I = \int \frac{x-1}{(x+1) \sqrt{x^2(x+1+\frac{1}{x})}} d x = \int \frac{x-1}{x(x+1) \sqrt{x+1+\frac{1}{x}}} d x$. अंश और हर को $x$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{x^2-1}{x^2(x+1) \sqrt{x+1+\frac{1}{x}}} d x$. इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $I = \int \frac{(1 - \frac{1}{x^2}) d x}{(1 + \frac{1}{x}) \sqrt{x+1+\frac{1}{x}}}$. माना $t = \sqrt{x+1+\frac{1}{x}}$. तब $t^2 = x+1+\frac{1}{x}$,और $2t dt = (1 - \frac{1}{x^2}) dx$. अतः,$I = 2 	an^{-1} \left( \sqrt{\frac{x^2+x+1}{x}} ight) + c$.

$\int \frac{x-1}{(x+1) \sqrt{x^3+x^2+x}} d x=$

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किसी भी पूर्णांक $n \geq 2$ के लिए,यदि $I_n = \int \cot^n x \, dx$ है,तो $I_5 =$

$\int \sqrt{x^2-6x-16} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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