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Question

(D) माना $I = \int [\operatorname{Tan}^{-1}(1-x+x^2) + \operatorname{Tan}^{-1}(1-x)] dx$. सर्वसमिका $\operatorname{Tan}^{-1} a + \operatorname{Tan}^{-

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$x \operatorname{Tan}^{-1} x - \frac{3}{4} \log \sqrt{1+x^2} + c$

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(D) माना $I = \int [\operatorname{Tan}^{-1}(1-x+x^2) + \operatorname{Tan}^{-1}(1-x)] dx$. सर्वसमिका $\operatorname{Tan}^{-1} a + \operatorname{Tan}^{-1} b = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{a+b}{1-ab} \right)$ का उपयोग करने पर: $\operatorname{Tan}^{-1}(1-x+x^2) + \operatorname{Tan}^{-1}(1-x) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{(1-x+x^2) + (1-x)}{1 - (1-x+x^2)(1-x)} \right)$ $= \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{2-2x+x^2}{1 - (1 - x + x^2 - x + x^2 - x^3)} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{2-2x+x^2}{x(1-x)^2} \right)$. इस व्यंजक का समाकलन करने पर हमें $x \operatorname{Tan}^{-1} x - \frac{3}{4} \log(1+x^2) + c$ प्राप्त होता है,जिसे $x \operatorname{Tan}^{-1} x - \frac{3}{4} \log \sqrt{1+x^2} + c$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

$0 < x < 1$ के लिए,समाकलन $\int [\operatorname{Tan}^{-1}(1-x+x^2) + \operatorname{Tan}^{-1}(1-x)] dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int {(1 + x - {x^{ - 1}}){e^{x + {x^{ - 1}}}}\,dx} = $

यदि $\int \sin ^{-1}\left(\sqrt{\frac{x}{1+x}}\right) d x=A(x) \tan ^{-1}(\sqrt{x})+B(x)+C$ है,जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है,तो क्रमित युग्म $(A(x), B(x))$ क्या हो सकता है?

मान लीजिए $\int \frac{2-\tan x}{3+\tan x} dx = \frac{1}{2}(\alpha x + \log_e |\beta \sin x + \gamma \cos x|) + C$,जहाँ $C$ समाकलन का स्थिरांक है। तो $\alpha + \frac{\gamma}{\beta}$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int \frac{x+\sin x}{1+\cos x} \,d x=$

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