किसी भी पूर्णांक n geq 2 के लिए,यदि I_n = int | vedclass

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Question

(A) हमें $I_n = \int \cot^n x \, dx$ दिया गया है। $n=5$ के लिए,$I_5 = \int \cot^5 x \, dx$ है। हम $\cot^5 x = \cot^3 x \cdot \cot^2 x = \cot^3 x (\csc

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$\frac{-\cot^4 x}{4} + \frac{\cot^2 x}{2} + \log |\sin x| + c$

Vedclass · Answer

(A) हमें $I_n = \int \cot^n x \, dx$ दिया गया है। $n=5$ के लिए,$I_5 = \int \cot^5 x \, dx$ है। हम $\cot^5 x = \cot^3 x \cdot \cot^2 x = \cot^3 x (\csc^2 x - 1) = \cot^3 x \csc^2 x - \cot^3 x$ लिख सकते हैं। अतः,$I_5 = \int \cot^3 x \csc^2 x \, dx - \int \cot^3 x \, dx$। माना $u = \cot x$,तो $du = -\csc^2 x \, dx$,इसलिए $\int \cot^3 x \csc^2 x \, dx = -\int u^3 \, du = -\frac{u^4}{4} = -\frac{\cot^4 x}{4}$। अब,$\int \cot^3 x \, dx = \int \cot x (\csc^2 x - 1) \, dx = \int \cot x \csc^2 x \, dx - \int \cot x \, dx$। $\int \cot x \csc^2 x \, dx = -\frac{\cot^2 x}{2}$ और $\int \cot x \, dx = \log |\sin x|$। इस प्रकार,$\int \cot^3 x \, dx = -\frac{\cot^2 x}{2} - \log |\sin x|$। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$I_5 = -\frac{\cot^4 x}{4} - (-\frac{\cot^2 x}{2} - \log |\sin x|) + c = -\frac{\cot^4 x}{4} + \frac{\cot^2 x}{2} + \log |\sin x| + c$।

किसी भी पूर्णांक $n \geq 2$ के लिए,यदि $I_n = \int \cot^n x \, dx$ है,तो $I_5 =$

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कथन $(A)$: यदि $I_n = \int \cot^n x \, dx$ है,तो $I_6 + I_4 = \frac{-\cot^5 x}{5}$ होगा।
कारण $(R)$: $\int \cot^n x \, dx = \frac{-\cot^{n-1} x}{n-1} - \int \cot^{n-2} x \, dx$.

यदि $\int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}} d x=2 f(x)-2 \operatorname{Sin}^{-1} \sqrt{x}+c$ है, तो $f(x)=$

$\int \frac{1}{\left(1+x^2\right) \sqrt{x^2+2}} d x=$

$\int \frac{dx}{\sqrt{(x-1)(x-2)}}=$

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