int_0^{pi / 2} sin ^m x cos ^4 x , dx = frac{ | vedclass

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Question

(A) हम निश्चित समाकलन के लिए वालिस सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int_0^{\pi / 2} \sin ^m x \cos ^n x \, dx = \frac{[(m-1)(m-3)\dots] \cdot [(n-1)(n-3)\do

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$8$

Vedclass · Answer

(A) हम निश्चित समाकलन के लिए वालिस सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int_0^{\pi / 2} \sin ^m x \cos ^n x \, dx = \frac{[(m-1)(m-3)\dots] \cdot [(n-1)(n-3)\dots]}{(m+n)(m+n-2)\dots} \cdot k$,जहाँ यदि $m$ और $n$ दोनों सम हैं तो $k = \frac{\pi}{2}$,और अन्यथा $k = 1$ है।दिया गया है $\int_0^{\pi / 2} \sin ^m x \cos ^4 x \, dx = \frac{7 \pi}{2048}$।चूँकि परिणाम में $\pi$ है,इसलिए $m$ और $4$ दोनों सम होने चाहिए,अतः $m$ सम है और $k = \frac{\pi}{2}$ है।सूत्र में $n = 4$ रखने पर:$I = \frac{(m-1)(m-3)\dots(1) \cdot (4-1)(4-3)}{(m+4)(m+2)(m)(m-2)\dots(2)} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{7 \pi}{2048}$।यदि $m = 8$ हो:$I = \frac{(7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1) \cdot (3 \cdot 1)}{(12 \cdot 10 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2)} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{105 \cdot 3}{46080} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{315 \pi}{92160} = \frac{7 \pi}{2048}$।अतः,$m = 8$ है।

$\int_0^{\pi / 2} \sin ^m x \cos ^4 x \, dx = \frac{7 \pi}{2048} \Rightarrow m = ?$

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