int_0^1 frac{8 log (1+x)}{1+x^2} dx = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_0^1 \frac{8 \log (1+x)}{1+x^2} dx$. $x = 	an 	heta$ આદેશ લેતા,$dx = \sec^2 	heta d	heta$. જ્યારે $x = 0$ ત્યારે $	heta = 0$

Vedclass · Accepted Answer

$\pi \log 2$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_0^1 \frac{8 \log (1+x)}{1+x^2} dx$. $x = 	an 	heta$ આદેશ લેતા,$dx = \sec^2 	heta d	heta$. જ્યારે $x = 0$ ત્યારે $	heta = 0$,અને જ્યારે $x = 1$ ત્યારે $	heta = \frac{\pi}{4}$. તેથી $I = 8 \int_0^{\pi/4} \frac{\log(1+	an 	heta)}{1+	an^2 	heta} \sec^2 	heta d	heta = 8 \int_0^{\pi/4} \log(1+	an 	heta) d	heta$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(	heta) d	heta = \int_0^a f(a-	heta) d	heta$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = 8 \int_0^{\pi/4} \log(1+	an(\frac{\pi}{4}-	heta)) d	heta$. $	an(\frac{\pi}{4}-	heta) = \frac{1-	an 	heta}{1+	an 	heta}$ હોવાથી: $I = 8 \int_0^{\pi/4} \log(1 + \frac{1-	an 	heta}{1+	an 	heta}) d	heta = 8 \int_0^{\pi/4} \log(\frac{2}{1+	an 	heta}) d	heta$. $I = 8 \int_0^{\pi/4} (\log 2 - \log(1+	an 	heta)) d	heta = 8 \int_0^{\pi/4} \log 2 d	heta - I$. $2I = 8 \log 2 [	heta]_0^{\pi/4} = 8 \log 2 (\frac{\pi}{4}) = 2\pi \log 2$. તેથી,$I = \pi \log 2$.

$\int_0^1 \frac{8 \log (1+x)}{1+x^2} dx =$

Similar Questions

નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,$\int_{0}^{2 \pi} \cos ^{5} x \, dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $f$ એ સતત વિધેય હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

સંકલન $\int_0^\infty \frac{\log_e(x)}{x^2+4} dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{2} x}{\cos ^{2} x+4 \sin ^{2} x} d x$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ માટે $a_n = \int_{-\pi}^{\pi} |x-1| \cos(nx) \, dx$ છે. તો,શ્રેણી $(a_n)_{n \geq 1}$ શું સંતોષે છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module