એક કિરણ $2$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાંથી $1$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં આપાત થાય છે. તો ક્રાંતિકોણ કેટલો હશે ($^{\circ}$ માં)?

આકૃતિમાં એક કાટકોણ કાચનું પ્રિઝમ દર્શાવેલ છે. એક પ્રવાહીનું પડ કર્ણ સપાટીના સંપર્કમાં છે. જો પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક $\mu_l$ હોય (આપેલ છે $\mu_{\text{glass}} = 3/2$),તો $AB$ સપાટી પર લંબ રૂપે આપાત થતું પ્રકાશનું કિરણ કર્ણ સપાટી પરથી પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવશે.

પ્રકાશનું માધ્યમ $x$ થી માધ્યમ $y$ માં જતી વખતે ક્રાંતિકોણ $\theta$ છે. માધ્યમ $x$ માં પ્રકાશની ઝડપ $v$ છે. તો માધ્યમ $y$ માં પ્રકાશની ઝડપ કેટલી હશે?

$1.5$ વક્રીભવનાંક ધરાવતો કાચનો પ્રિઝમ પાણીમાં ($4/3$ વક્રીભવનાંક) ડૂબાડેલો છે. જો $AB$ સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થતું પ્રકાશનું કિરણ $BC$ સપાટી સુધી પહોંચવા માટે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે,તો:

સાબિત કરો કે $\mu \geqslant \sqrt{2}$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પદાર્થ માટે,કોઈપણ ખૂણે આપાત થતો પ્રકાશ આપાત સપાટીને લંબ લંબાઈની દિશામાં માર્ગદર્શન પામશે.

$(a)$ આકૃતિ $1.68$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા કાચના ફાઈબરથી બનેલી 'લાઈટ પાઈપ'નો આડછેદ દર્શાવે છે. પાઈપનું બહારનું આવરણ $1.44$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પદાર્થનું બનેલું છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ પાઈપની અંદર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થાય તે માટે પાઈપની અક્ષ સાથે આપાત કિરણોના ખૂણાઓનો વિસ્તાર કેટલો હશે?
$(b)$ જો પાઈપનું બહારનું આવરણ ન હોય તો જવાબ શું હશે?