एक समतल $\pi$ बिंदुओं $A(1, -2, 3)$ और $B(6, 4, 5)$ से होकर गुजरता है। यदि समतल $\pi$,समतल $3x - y + z = 2$ के लंबवत है,तो $(0, 0, 0)$ से समतल $\pi$ की लंबवत दूरी ज्ञात कीजिए।

उस बिंदु का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ रेखा $r = (i - j + k) + t(i + j + k)$ समतल $r \cdot (i + j + k) = 5$ को काटती है।

समतल $2x - y + 3z = 7$ में बिंदु $(3, 2, 1)$ का प्रतिबिंब क्या है?

मान लीजिए $P$ समतल $\sqrt{3} x+2 y+3 z=16$ है और $S=\left\{\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}+\gamma \hat{k}: \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1 \text{ और } (\alpha, \beta, \gamma) \text{ की समतल } P \text{ से दूरी } \frac{7}{2} \text{ है}\right\}$ है। मान लीजिए $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ और $\overrightarrow{w}$ समुच्चय $S$ में तीन भिन्न सदिश हैं जैसे कि $|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}|=|\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w}|=|\overrightarrow{w}-\overrightarrow{u}|$। मान लीजिए $V$ सदिशों $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ और $\overrightarrow{w}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन है। तो $\frac{80}{\sqrt{3}} V$ का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदु $(1, 3, -7)$ की उस समतल से दूरी,जो बिंदु $(1, -1, -1)$ से होकर गुजरता है और जिसका अभिलंब रेखाओं $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z - 4}{3}$ और $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z + 7}{-1}$ दोनों के लंबवत है,. . . . है।

यदि रेखा $\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{2}$ और समतल $2x-y+\sqrt{\lambda}z+4=0$ के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है कि $\sin \theta=\frac{1}{3}$,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।