एक वृत्त S = x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + 4 = 0,वृ | vedclass

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Question

(A) दो वृत्तों $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ के लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$

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$4$

Vedclass · Answer

(A) दो वृत्तों $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ के लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ है। दिया गया है $S: x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + 4 = 0$ और $C_1: x^2 + y^2 - 4x - 4y - 4 = 0$. शर्त लागू करने पर: $2g(-2) + 2f(-2) = 4 - 4$ $\Rightarrow -4g - 4f = 0$ $\Rightarrow g + f = 0$. माना $r_1$ वृत्त $S$ की त्रिज्या है,अतः $r_1^2 = g^2 + f^2 - 4$. दिया गया है कि $S$,$C_2: x^2 + y^2 + 4x + 4y + 4 = 0$ के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है। केंद्र $O_1 = (-g, -f)$ और $O_2 = (-2, -2)$ हैं। दूरी $d^2 = (-g + 2)^2 + (-f + 2)^2 = (g - 2)^2 + (f - 2)^2$. $C_2$ की त्रिज्या $r_2 = \sqrt{2^2 + 2^2 - 4} = 2$ है। वृत्तों के बीच का कोण $	heta$ के लिए $\cos 	heta = \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2}$. $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{r_1^2 + 4 - ((g - 2)^2 + (f - 2)^2)}{2r_1(2)}$. $2r_1 = r_1^2 + 4 - (g^2 - 4g + 4 + f^2 - 4f + 4) = r_1^2 + 4 - (g^2 + f^2 - 4(g + f) + 8)$. चूंकि $g + f = 0$ और $g^2 + f^2 = r_1^2 + 4$,इसलिए $2r_1 = r_1^2 + 4 - (r_1^2 + 4 - 0 + 8) = r_1^2 + 4 - r_1^2 - 12 = -8$. मापांक लेने पर,$2r_1 = 8$,अतः $r_1 = 4$.

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