एक दीर्घवृत्त जिसकी उत्केंद्रता $e = \frac{1}{2}$ है,की एक नाभि $(0,0)$ पर है और नियता रेखा $x = 4$ है। तो ऐसे एक दीर्घवृत्त का समीकरण है

मूल बिंदु पर केंद्र,निर्देशांक अक्षों के अनुदिश अक्ष और बिंदुओं $(4, -1)$ तथा $(-2, 2)$ से गुजरने वाले दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता ज्ञात कीजिए।

समीकरण $\frac{x^2}{2 - r} + \frac{y^2}{r - 5} + 1 = 0$ एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है,यदि

कथन $(A)$: यदि दीर्घवृत्त $9x^2 + 16y^2 = 144$ के बिंदु $P(\frac{\pi}{3})$ पर स्पर्श रेखा और अभिलंब मुख्य अक्ष को क्रमशः $Q$ और $R$ पर मिलते हैं,तो $QR = \frac{57}{8}$ है।
कारण $(R)$: यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $P(\theta)$ पर स्पर्श रेखा और अभिलंब मुख्य अक्ष को क्रमशः $Q$ और $R$ पर मिलते हैं,तो $QR = \left| \frac{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}{a \cos \theta} \right|$ है।

बिंदुओं $(\pm \sqrt{a^2 - b^2}, 0)$ से रेखा $\frac{x}{a}\cos \theta + \frac{y}{b}\sin \theta = 1$ पर खींचे गए लंबों का गुणनफल है:

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{\pi}{6}$ वर्ग इकाई है। तो,दीर्घवृत्त का समीकरण क्या है?