$\int \frac{1}{(x+2) \sqrt{x^2+x+2}} \, dx =$

જો $\int \frac{1+x^2}{1+x^4} dx=\frac{1}{\sqrt{2}} \tan ^{-1}\left[\frac{f(x)}{\sqrt{2}}\right]+c$ હોય,તો $f(x)=$

જો $\int(\sin x )^{\frac{-11}{2}}(\cos x )^{\frac{-5}{2}} dx = -\frac{p_1}{q_1}(\cot x)^{\frac{9}{2}}-\frac{p_2}{q_2}(\cot x)^{\frac{5}{2}}-\frac{p_3}{q_3}(\cot x)^{\frac{1}{2}}+\frac{p_4}{q_4}(\cot x)^{\frac{-3}{2}}+C,$ જ્યાં $p_i$ અને $q_i$ એ ધન પૂર્ણાંકો છે અને $\operatorname{gcd}(p_i, q_i)=1$ છે $i =1,2,3,4$ માટે અને $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે, તો $\frac{15 p_1 p_2 p_3 p_4}{q_1 q_2 q_3 q_4}$ ની કિંમત . . . . . . છે.

જો $\int \frac{\sin ^8 x-\cos ^8 x}{1-2 \sin ^2 x \cos ^2 x} d x=A \sin 2 x+B$ હોય,તો $A$ ની કિંમત શોધો.

$\int {(1 + x - {x^{ - 1}}){e^{x + {x^{ - 1}}}}\,dx} = $

જો $\int \frac{d \theta}{\cos ^2 \theta(\tan 2 \theta+\sec 2 \theta)}=\lambda \tan \theta+2 \log _{e}|f(\theta)|+c$ (જ્યાં $c$ એ સંકલનનો અચળાંક છે),તો ક્રમયુક્ત જોડ $(\lambda, |f(\theta)|)$ બરાબર શું થાય?