int sqrt{sin x} cos x , dx = frac{2}{3}(sin x | vedclass

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Question

(C) दिया गया समाकलन $I = \int \sqrt{\sin x} \cos x \, dx$ है। माना $t = \sin x$, तब $dt = \cos x \, dx$ होगा। अतः समाकलन $I = \int \sqrt{t} \, dt = \f

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$(2n\pi, (2n+1)\pi), n \in \mathbb{Z}$

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(C) दिया गया समाकलन $I = \int \sqrt{\sin x} \cos x \, dx$ है। माना $t = \sin x$, तब $dt = \cos x \, dx$ होगा। अतः समाकलन $I = \int \sqrt{t} \, dt = \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{2}{3} (\sin x)^{3/2} + C$ प्राप्त होता है। वास्तविक संख्याओं में $\sqrt{\sin x}$ को परिभाषित होने के लिए, $\sin x \ge 0$ होना चाहिए। यहाँ $\sin x > 0$ होना आवश्यक है ताकि वर्गमूल फलन अवकलनीय रहे। ज्या फलन $\sin x$ प्रथम और द्वितीय चतुर्थांश में धनात्मक होता है, जो अंतराल $(2n\pi, (2n+1)\pi)$ को दर्शाता है, जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।

$\int \sqrt{\sin x} \cos x \, dx = \frac{2}{3}(\sin x)^{3/2} + C$ किस अंतराल में मान्य है?

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$\int \frac{1}{\sqrt{2x-x^2}} dx = $

$\int \frac{1}{x^2 \sqrt{1 + x^2}} \, dx = $

फलन $\sin ^{3}(2 x+1)$ का समाकलन ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $n \ge 2$ एक प्राकृतिक संख्या है और $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ है। तो $\int \frac{(\sin^n \theta - \sin \theta)^{\frac{1}{n}} \cos \theta}{\sin^{n+1} \theta} d\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{d x}{\cos x \sqrt{\cos 2 x}} = $

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