int_0^{10} (5 - sqrt{10x - x^2}) , dx = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int_0^{10} (5 - \sqrt{10x - x^2}) \, dx$. પ્રથમ, વર્ગમૂળની અંદર પૂર્ણવર્ગ બનાવો: $10x - x^2 = -(x^2 - 10x) = -(x^2 - 10x + 25 - 25)

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2}(100 - 25\pi)$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int_0^{10} (5 - \sqrt{10x - x^2}) \, dx$. પ્રથમ, વર્ગમૂળની અંદર પૂર્ણવર્ગ બનાવો: $10x - x^2 = -(x^2 - 10x) = -(x^2 - 10x + 25 - 25) = 25 - (x - 5)^2$. તેથી, $I = \int_0^{10} 5 \, dx - \int_0^{10} \sqrt{5^2 - (x - 5)^2} \, dx$. પ્રથમ ભાગ $\int_0^{10} 5 \, dx = [5x]_0^{10} = 50$ છે. બીજા ભાગ માટે, સૂત્ર $\int \sqrt{a^2 - u^2} \, du = \frac{u}{2}\sqrt{a^2 - u^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{u}{a})$ નો ઉપયોગ કરો. અહીં $u = x - 5$, તેથી $du = dx$. જ્યારે $x=0, u=-5$; જ્યારે $x=10, u=5$. $\int_{-5}^5 \sqrt{5^2 - u^2} \, du = [\frac{u}{2}\sqrt{25 - u^2} + \frac{25}{2}\sin^{-1}(\frac{u}{5})]_{-5}^5$. $= (0 + \frac{25}{2}\sin^{-1}(1)) - (0 + \frac{25}{2}\sin^{-1}(-1)) = \frac{25}{2}(\frac{\pi}{2}) - \frac{25}{2}(-\frac{\pi}{2}) = \frac{25\pi}{4} + \frac{25\pi}{4} = \frac{25\pi}{2}$. આમ, $I = 50 - \frac{25\pi}{2} = \frac{100 - 25\pi}{2} = \frac{1}{2}(100 - 25\pi)$.

$\int_0^{10} (5 - \sqrt{10x - x^2}) \, dx = $

Similar Questions

$\int\limits_2^4 {\left[ {{{\log }_x}2 - \frac{{{{\left( {{{\log }_x}2} \right)}^2}}}{{\ln 2}}} \right]} dx =$

$\int_{0}^{\infty} \frac{x \, dx}{(1 + x)(1 + x^2)} = $

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin^4 x \, dx = $

જો $\int_{0}^{a} \frac{dx}{4 + x^2} = \frac{\pi}{8}$ હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module