એક સમતલ યામ અક્ષોને અનુક્રમે $P, Q, R$ બિંદુઓમાં મળે છે. જો $\triangle P Q R$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)$ હોય, તો સમતલનું સમીકરણ શોધો.

બિંદુ $P(a, b, c)$ માંથી $XY$ સમતલ અને $ZX$ સમતલ પર અનુક્રમે લંબ $PA$ અને $PB$ દોરવામાં આવ્યા છે. જો $O$ ઉગમબિંદુ હોય, તો સમતલ $OAB$ નું સમીકરણ છે

ધારો કે $R^3$ એ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશ દર્શાવે છે. બે બિંદુઓ $P=(1, 2, 3)$ અને $Q=(4, 2, 7)$ લો. ધારો કે $\operatorname{dist}(X, Y)$ એ $R^3$ માં બે બિંદુઓ $X$ અને $Y$ વચ્ચેનું અંતર દર્શાવે છે. ધારો કે
$S=\{X \in R^3: (\operatorname{dist}(X, P))^2 - (\operatorname{dist}(X, Q))^2 = 50\}$
$T=\{Y \in R^3: (\operatorname{dist}(Y, Q))^2 - (\operatorname{dist}(Y, P))^2 = 50\}$
તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ (સાચું) છે?
$(A)$ એક એવો ત્રિકોણ છે જેનું ક્ષેત્રફળ $1$ છે અને તેના બધા શિરોબિંદુઓ $S$ માંથી છે.
$(B)$ $T$ માં બે અલગ બિંદુઓ $L$ અને $M$ છે જેથી રેખાખંડ $LM$ પરનું દરેક બિંદુ પણ $T$ માં હોય.
$(C)$ $48$ પરિમિતિ ધરાવતા અનંત લંબચોરસ છે,જેના બે શિરોબિંદુઓ $S$ માંથી અને બાકીના બે શિરોબિંદુઓ $T$ માંથી છે.
$(D)$ $48$ પરિમિતિ ધરાવતો એક ચોરસ છે,જેના બે શિરોબિંદુઓ $S$ માંથી અને બાકીના બે શિરોબિંદુઓ $T$ માંથી છે.

જો $A$ અને $B$ એ બિંદુ $Q(a, b, c)$ માંથી $yz$ અને $zx$ સમતલો પર દોરેલા લંબપાદ હોય,તો બિંદુઓ $A, B$ અને ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $.........$ છે.

બે સમતલો $2x + 3y + 4z = 4$ અને $4x + 6y + 8z = 12$ વચ્ચેનું અંતર કેટલું છે?

એક સદિશ $\vec{n}$ એ $X$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$,$Y$-અક્ષ સાથે $60^{\circ}$ અને $Z$-અક્ષ સાથે લઘુકોણ બનાવે છે. જો $\vec{n}$ એ $(-\sqrt{2}, 1, 1)$ બિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનો અભિલંબ હોય,તો સમતલનું સમીકરણ શોધો.