एक व्यक्ति एक पक्षपाती सिक्के को अनिश्चित काल | vedclass

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Question

(D) माना हेड प्राप्त करने की प्रायिकता $p$ है। तब हेड न प्राप्त करने की प्रायिकता $1-p$ है। व्यक्ति विषम संख्या के उछाल में खेल जीतता है यदि पहला हेड

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$\frac{32}{243}$

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(D) माना हेड प्राप्त करने की प्रायिकता $p$ है। तब हेड न प्राप्त करने की प्रायिकता $1-p$ है। व्यक्ति विषम संख्या के उछाल में खेल जीतता है यदि पहला हेड $1, 3, 5, \dots$ उछाल पर आता है। यह एक गुणोत्तर श्रेणी बनाता है: $p + (1-p)^2 p + (1-p)^4 p + \dots = 3/4$. अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $a = p$ और $r = (1-p)^2$: $\frac{p}{1-(1-p)^2} = \frac{3}{4}$ $\frac{p}{1-(1-2p+p^2)} = \frac{3}{4}$ $\frac{p}{2p-p^2} = \frac{3}{4}$ $\frac{1}{2-p} = \frac{3}{4}$ $4 = 6 - 3p \implies 3p = 2 \implies p = 2/3$. यदि $5$ सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं, तो सभी $5$ सिक्कों पर हेड आने की प्रायिकता $p^5 = (2/3)^5 = 32/243$ है।

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