एक यादृच्छिक चर X का परिसर {0, 1, 2, ldots} ह | vedclass

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Question

(B) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है। इसलिए, $\sum_{r=0}^{\infty} P(X=r) = 1$. दिया गया है $P(X=r) = k(1+r) 3^{-r}$, अतः $k \sum

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$\frac{8}{9}$

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(B) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है। इसलिए, $\sum_{r=0}^{\infty} P(X=r) = 1$. दिया गया है $P(X=r) = k(1+r) 3^{-r}$, अतः $k \sum_{r=0}^{\infty} (1+r) \left(\frac{1}{3}ight)^r = 1$. माना $S = \sum_{r=0}^{\infty} (1+r) x^r$ जहाँ $x = \frac{1}{3}$. यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है: $S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots$. दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर: $xS = x + 2x^2 + 3x^3 + \ldots$. दोनों को घटाने पर: $S(1-x) = 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots = \frac{1}{1-x}$. अतः, $S = \frac{1}{(1-x)^2}$. $x = \frac{1}{3}$ के लिए, $S = \frac{1}{(1 - 1/3)^2} = \frac{1}{(2/3)^2} = \frac{9}{4}$. इसलिए, $k 	imes \frac{9}{4} = 1 \implies k = \frac{4}{9}$. अब, $P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = k \left[ (1+0)3^0 + (1+1)3^{-1} + (1+2)3^{-2} ight]$. $= \frac{4}{9} \left[ 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{9} ight] = \frac{4}{9} \left[ 1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{3} ight] = \frac{4}{9} 	imes 2 = \frac{8}{9}$.

एक यादृच्छिक चर $X$ का परिसर $\{0, 1, 2, \ldots\}$ है। यदि $P(X=r) = k(1+r) 3^{-r}$ जहाँ $r=0, 1, 2, \ldots$ और $k > 0$ एक वास्तविक संख्या है, तो $P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) =$

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यदि $X$,$2$ प्रसरण (variance) के साथ पॉइसन वितरण (Poisson distribution) का पालन करता है,तो $P(X \geq 3) = $

यदि एक असतत यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता वितरण $P(X=k) = \frac{2^{-k}(3k+1)}{2^c}, k = 0, 1, 2, \ldots, \infty$ द्वारा दिया गया है,तो $P(X \leq c)$ ज्ञात कीजिए।

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