mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{{(1 + x)} | vedclass

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Question

(C) सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{{{(1 + x)}^{1/2}} - {{(1 - x)}^{1/2}}}}{x}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम परिमेयकरण विधि या $L$-Hospit

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$1$

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(C) सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{{{(1 + x)}^{1/2}} - {{(1 - x)}^{1/2}}}}{x}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम परिमेयकरण विधि या $L$-Hospital नियम का उपयोग कर सकते हैं।विधि $1$: परिमेयकरणअंश और हर को संयुग्मी $\frac{{{{(1 + x)}^{1/2}} + {{(1 - x)}^{1/2}}}}{{{{(1 + x)}^{1/2}} + {{(1 - x)}^{1/2}}}}$ से गुणा करने पर:$\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{(1 + x) - (1 - x)}}{{x({{(1 + x)}^{1/2}} + {{(1 - x)}^{1/2}})}} = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{2x}}{{x({{(1 + x)}^{1/2}} + {{(1 - x)}^{1/2}})}} = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{2}{{{{(1 + x)}^{1/2}} + {{(1 - x)}^{1/2}}}} = \frac{2}{{1 + 1}} = 1$.विधि $2$: $L$-Hospital नियमचूंकि सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है,इसलिए अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{\frac{d}{{dx}}({{(1 + x)}^{1/2}} - {{(1 - x)}^{1/2}})}}{{\frac{d}{{dx}}(x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{\frac{1}{2}{{(1 + x)}^{ - 1/2}} - ( - \frac{1}{2}{{(1 - x)}^{ - 1/2}})}}{1} = \mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \left( \frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} + \frac{1}{{2\sqrt {1 - x} }} ight) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(1 + x)}^{1/2}} - {{(1 - x)}^{1/2}}}}{x} = $

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$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{1}{x} - \frac{{\log (1 + x)}}{{{x^2}}}} \right] =$

$\lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{x \cdot 10^x - x}{1 - \cos x} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + x} - \sqrt {1 - x} }}{{{{\sin }^{ - 1}}x}} = $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{{x^2}}} - \cos x}}{{{x^2}}} = $

मान लीजिए $f(x)$ एक अवकलनीय फलन है और $f^{\prime}(4)=5$ है। तब, $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(4) - f\left(x^{2}\right)}{x-2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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