વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ P(x, y) પર સ્પર્શક દોરવ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $P(x, y)$ આગળનો સ્પર્શક $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ છે.ધારો કે $y' = \frac{dy}{dx}$. સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y - y = y'(X - x)$ છે.બિંદુ $A$

Vedclass · Accepted Answer

વક્રનું વિકલ સમીકરણ $3x \frac{dy}{dx} + y = 0$ છે

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $P(x, y)$ આગળનો સ્પર્શક $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ છે.ધારો કે $y' = \frac{dy}{dx}$. સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y - y = y'(X - x)$ છે.બિંદુ $A$ ($X$-અક્ષ) માટે, $Y = 0$ લેતા: $-y = y'(X - x) \Rightarrow X = x - \frac{y}{y'}$. તેથી, $A = \left(x - \frac{y}{y'}, 0\right)$.બિંદુ $B$ ($Y$-અક્ષ) માટે, $X = 0$ લેતા: $Y - y = y'(-x) \Rightarrow Y = y - xy'$. તેથી, $B = (0, y - xy')$.આપેલ છે કે $AP:BP = 3:1$. બિંદુ $P(x, y)$ માટે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા જે $AB$ નું $3:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે:$x = \frac{1 \cdot (x - y/y') + 3 \cdot 0}{3 + 1} = \frac{x - y/y'}{4} \Rightarrow 4x = x - \frac{y}{y'} \Rightarrow 3x = -\frac{y}{y'} \Rightarrow 3xy' = -y \Rightarrow 3x \frac{dy}{dx} + y = 0$.આ વિકલ્પ $A$ સાથે મેળ ખાય છે.વિકલ સમીકરણ ઉકેલતા: $\frac{3 dy}{y} + \frac{dx}{x} = 0 \Rightarrow 3 \ln|y| + \ln|x| = C \Rightarrow \ln|xy^3| = C \Rightarrow xy^3 = k$.તે $(1, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી, $1(1)^3 = k \Rightarrow k = 1$. વક્ર $xy^3 = 1$ છે.વિકલ્પ $C$ ચકાસતા: જો $x = 1/8$ હોય, તો $y^3 = 8 \Rightarrow y = 2$. તેથી, વક્ર $(1/8, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.વિકલ્પ $D$ ચકાસતા: $(1, 1)$ આગળ, $y' = -\frac{y}{3x} = -\frac{1}{3}$. અભિલંબનો ઢાળ $= -\frac{1}{y'} = 3$.અભિલંબનું સમીકરણ: $y - 1 = 3(x - 1) \Rightarrow y - 1 = 3x - 3 \Rightarrow 3x - y = 2$. વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.

Similar Questions

જો વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1+x}{2y}$ નો ઉકેલ બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતો શંકુ (conic) હોય,તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) કેટલી થાય?

બિંદુ $(2, 0)$ માંથી પસાર થતા વક્રનો $(x, y)$ આગળનો ઢાળ $x^2 - 2x$ છે. $x = 0$ આગળ $y$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - y = 0$ નું સમાધાન કરતી સીધી રેખાઓની સંખ્યા કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module