int cos (log x) d x=F(x)+C, जहाँ C एक स्वेच्छ | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \cos (\log x) d x$ है। $\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर, जिसका अर्थ है $x = e^t$। अतः, $dx = e^t dt$। इन मानों को समाकलन में रखने

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$\frac{x}{2}[\cos (\log x)+\sin (\log x)]$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \cos (\log x) d x$ है। $\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर, जिसका अर्थ है $x = e^t$। अतः, $dx = e^t dt$। इन मानों को समाकलन में रखने पर, हमें $I = \int e^t \cos t dt$ प्राप्त होता है। मानक समाकलन सूत्र $\int e^{ax} \cos(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} [a \cos(bx) + b \sin(bx)] + C$ का उपयोग करने पर, जहाँ $a = 1$ और $b = 1$ है: $I = \frac{e^t}{1^2 + 1^2} [1 \cdot \cos t + 1 \cdot \sin t] + C$। $I = \frac{e^t}{2} [\cos t + \sin t] + C$। $t = \log x$ और $e^t = x$ वापस रखने पर: $I = \frac{x}{2} [\cos(\log x) + \sin(\log x)] + C$। अतः, $F(x) = \frac{x}{2} [\cos(\log x) + \sin(\log x)]$।

$\int \cos (\log x) d x=F(x)+C,$ जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है। यहाँ, $F(x)$ किसके बराबर है?

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$\begin{aligned} & \int \frac{dx}{(2 \sin x+\sec x)^4}=A(1+\tan x)^{-5} \\ & +B(1+\tan x)^{-6}+C(1+\tan x)^{-7}+k, \text{ तो } \\ & A+B+C= \end{aligned}$

$\int \frac{d x}{(x+a)^{\frac{9}{7}}(x-b)^{\frac{5}{7}}} = ?$

$\int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}} \, dx =$

$\int (x+1)(x+3)(x+2)^7 \, dx = $ . . . . . . $+ C$.

$\int \frac{\sin x}{3+4 \cos ^2 x} d x$

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