int {{x^{51}}({{tan }^{ - 1}}x + {{cot }^{ - | vedclass

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Question

(A) हम जानते हैं कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए,सर्वसमिका ${	an ^{ - 1}}x + {\cot ^{ - 1}}x = \frac{\pi }{2}$ सत्य है।इसे समाकलन में प्रतिस्थापित क

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$\frac{{{x^{52}}}}{{52}}({	an ^{ - 1}}x + {\cot ^{ - 1}}x) + c$

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(A) हम जानते हैं कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए,सर्वसमिका ${	an ^{ - 1}}x + {\cot ^{ - 1}}x = \frac{\pi }{2}$ सत्य है।इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\int {{x^{51}}({{	an ^{ - 1}}x + {{\cot }^{ - 1}}x)}} \,dx = \int {{x^{51}} \cdot \frac{\pi }{2}} \,dx$.अचर पद $\frac{\pi }{2}$ को समाकलन से बाहर लेने पर:$= \frac{\pi }{2} \int {{x^{51}}} \,dx$.घात नियम $\int {{x^n}} \,dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + c$ का उपयोग करने पर:$= \frac{\pi }{2} \cdot \frac{{{x^{52}}}}{{52}} + c = \frac{{\pi {x^{52}}}}{{104}} + c$.चूंकि $\frac{\pi }{2} = {	an ^{ - 1}}x + {\cot ^{ - 1}}x$,हम परिणाम को इस प्रकार लिख सकते हैं:$= \frac{{{x^{52}}}}{{52}} \cdot \frac{\pi }{2} + c = \frac{{{x^{52}}}}{{52}}({	an ^{ - 1}}x + {\cot ^{ - 1}}x) + c$.

$\int {{x^{51}}({{\tan }^{ - 1}}x + {{\cot }^{ - 1}}x)} \,dx = $

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$x \in \left(\frac{3 \pi}{4}, \pi\right)$ के लिए, समाकलन $\int(\sqrt{1+\sin 2 x}+\sqrt{1-\sin 2 x}) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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