x in left(frac{3 pi}{4}, piright) के लिए, समा | vedclass

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Question

(A) दिया गया समाकलन $I = \int(\sqrt{1+\sin 2 x} + \sqrt{1-\sin 2 x}) \, dx$ है। सर्वसमिका $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ और $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का

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$-2 \cos x + C$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समाकलन $I = \int(\sqrt{1+\sin 2 x} + \sqrt{1-\sin 2 x}) \, dx$ है। सर्वसमिका $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ और $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर: $\sqrt{1+\sin 2x} = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x|$ $\sqrt{1-\sin 2x} = \sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x|$ जब $x \in \left(\frac{3 \pi}{4}, \pi\right)$ है, तब $\sin x > 0$ और $\cos x  |\cos x|$ है, इसलिए $\sin x + \cos x > 0$ और $\sin x - \cos x > 0$ होगा। अतः, व्यंजक $(\sin x + \cos x) + (\sin x - \cos x) = 2 \sin x$ बन जाता है। इसलिए, $I = \int 2 \sin x \, dx = -2 \cos x + C$.

$x \in \left(\frac{3 \pi}{4}, \pi\right)$ के लिए, समाकलन $\int(\sqrt{1+\sin 2 x}+\sqrt{1-\sin 2 x}) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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