int frac{x - sin x}{1 - cos x} dx = | vedclass

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Question

(B) हमारे पास $I = \int \frac{x - \sin x}{1 - \cos x} dx$ है। सर्वसमिकाओं $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ और $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \fr

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$-x \cot \frac{x}{2} + c$

Vedclass · Answer

(B) हमारे पास $I = \int \frac{x - \sin x}{1 - \cos x} dx$ है। सर्वसमिकाओं $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ और $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर: $I = \int \frac{x}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} dx - \int \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} dx$ $I = \frac{1}{2} \int x \csc^2 \frac{x}{2} dx - \int \cot \frac{x}{2} dx$. पहले पद के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर: माना $u = x$ और $dv = \csc^2 \frac{x}{2} dx$. तब $du = dx$ और $v = -2 \cot \frac{x}{2}$. $\int x \csc^2 \frac{x}{2} dx = x(-2 \cot \frac{x}{2}) - \int (-2 \cot \frac{x}{2}) dx = -2x \cot \frac{x}{2} + 2 \int \cot \frac{x}{2} dx$. इस मान को $I$ में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \frac{1}{2} [-2x \cot \frac{x}{2} + 2 \int \cot \frac{x}{2} dx] - \int \cot \frac{x}{2} dx$ $I = -x \cot \frac{x}{2} + \int \cot \frac{x}{2} dx - \int \cot \frac{x}{2} dx + c$ $I = -x \cot \frac{x}{2} + c$.

$\int \frac{x - \sin x}{1 - \cos x} dx = $

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