int frac{1}{x - x^3} , dx = | vedclass

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Question

(D) समाकलन $I = \int \frac{1}{x - x^3} \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,पहले हर का गुणनखंड करें: $x - x^3 = x(1 - x^2) = x(1 - x)(1 + x)$. आंशिक भिन्न

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$\frac{1}{2} \log \frac{x^2}{1 - x^2} + c$

Vedclass · Answer

(D) समाकलन $I = \int \frac{1}{x - x^3} \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,पहले हर का गुणनखंड करें: $x - x^3 = x(1 - x^2) = x(1 - x)(1 + x)$. आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{x(1 - x)(1 + x)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{1 - x} + \frac{C}{1 + x}$. स्थिरांकों को हल करने पर,हमें $A = 1$,$B = 1/2$,और $C = -1/2$ प्राप्त होता है। अतः,$\frac{1}{x - x^3} = \frac{1}{x} + \frac{1}{2(1 - x)} - \frac{1}{2(1 + x)} = \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 - x} - \frac{1}{1 + x} \right)$. प्रत्येक पद का समाकलन करने पर: $I = \int \frac{1}{x} \, dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - x} \, dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x} \, dx$. $I = \log |x| - \frac{1}{2} \log |1 - x| - \frac{1}{2} \log |1 + x| + c$. $I = \frac{1}{2} [2 \log |x| - \log |1 - x| - \log |1 + x|] + c$. $I = \frac{1}{2} \log \left| \frac{x^2}{(1 - x)(1 + x)} \right| + c = \frac{1}{2} \log \frac{x^2}{1 - x^2} + c$.

$\int \frac{1}{x - x^3} \, dx = $

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यदि $\int \frac{2 x^2-3}{\left(x^2-4\right)\left(x^2+1\right)} d x=A \tan^{-1} x+B \log (x-2)+C \log (x+2)$ है,तो $6 A+7 B-5 C=$

$\int \frac{2 x^2-1}{\left(x^2+4\right)\left(x^2-3\right)} d x=$

यदि $\int \frac{dx}{x^4+5x^2+4} = A \tan^{-1} x + B \tan^{-1} \frac{x}{2} + c$,जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है,तो:

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