int_0^{pi /2} log(sin x) , dx = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\pi /2} \log(\sin x) \, dx$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $I = \int_0^{\pi /

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{\pi}{2} \log 2$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\pi /2} \log(\sin x) \, dx$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $I = \int_0^{\pi /2} \log(\cos x) \, dx$. આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2I = \int_0^{\pi /2} (\log(\sin x) + \log(\cos x)) \, dx = \int_0^{\pi /2} \log(\sin x \cos x) \, dx$. લોગની અંદર $2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $2I = \int_0^{\pi /2} \log(\frac{\sin 2x}{2}) \, dx = \int_0^{\pi /2} \log(\sin 2x) \, dx - \int_0^{\pi /2} \log 2 \, dx$. $2I = \int_0^{\pi /2} \log(\sin 2x) \, dx - \frac{\pi}{2} \log 2$. ધારો કે $2x = t$,તો $2 \, dx = dt$. જ્યારે $x=0, t=0$ અને જ્યારે $x=\pi/2, t=\pi$. $2I = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \log(\sin t) \, dt - \frac{\pi}{2} \log 2$. ગુણધર્મ $\int_0^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા જો $f(2a-x) = f(x)$ હોય: $2I = \frac{1}{2} \cdot 2 \int_0^{\pi /2} \log(\sin t) \, dt - \frac{\pi}{2} \log 2$. $2I = I - \frac{\pi}{2} \log 2$. $I = -\frac{\pi}{2} \log 2$.

$\int_0^{\pi /2} \log(\sin x) \, dx = $

Similar Questions

$\int_0^{\pi / 2} \frac{16 x \sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} d x$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{0}^{\pi} \cos^3 x \, dx = $

$\int_{\pi}^{16\pi} |\sin x| dx = $

$\int_0^\pi x \sin x \, dx = $

$\int_0^{\pi / 2} \frac{2 \sin (x)+3 \cos (x)}{\sin (x)+\cos (x)} d x=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module