int_0^pi frac{x tan x}{sec x + cos x} ,dx = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{x 	an x}{\sec x + \cos x} \,dx$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a-x) \,dx$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = \int_0^\pi

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi^2}{4}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_0^\pi \frac{x 	an x}{\sec x + \cos x} \,dx$. ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a-x) \,dx$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) 	an(\pi - x)}{\sec(\pi - x) + \cos(\pi - x)} \,dx = \int_0^\pi \frac{(\pi - x)(-	an x)}{-\sec x - \cos x} \,dx = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) 	an x}{\sec x + \cos x} \,dx$. $I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા: $2I = \int_0^\pi \frac{\pi 	an x}{\sec x + \cos x} \,dx = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x / \cos x}{1/\cos x + \cos x} \,dx = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \,dx$. ધારો કે $t = \cos x$,તેથી $dt = -\sin x \,dx$. જ્યારે $x=0, t=1$ અને જ્યારે $x=\pi, t=-1$. $2I = \pi \int_1^{-1} \frac{-dt}{1 + t^2} = \pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1 + t^2} = \pi [	an^{-1} t]_{-1}^1$. $2I = \pi (	an^{-1}(1) - 	an^{-1}(-1)) = \pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = \pi (\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{2}$. આમ,$I = \frac{\pi^2}{4}$.

$\int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x + \cos x} \,dx = $

Similar Questions

સંકલન $\int_0^\infty \frac{\log_e(x)}{x^2+4} dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \left(\frac{\pi}{4}+x\right)+\sin \left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)}{\cos x+\sin x} d x=$

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2019-x}{2019+x}\right) d x=$ . . . . . . .

ધારો કે $f(x)$ એ $T$ આવર્તકાળ ધરાવતું સતત આવર્તી વિધેય છે. ધારો કે $I = \int_{a}^{a+T} f(x) \, dx$. તો

$\frac{8}{\pi} \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\cos x)^{2023}}{(\sin x)^{2023}+(\cos x)^{2023}} dx$ નું મૂલ્ય $.............$ છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module