int_{0}^{infty} frac{x ln x}{(1 + x^2)^2} , d | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{\infty} \frac{x \ln x}{(1 + x^2)^2} \, dx$.$x = 	an 	heta$ આદેશ લેતા,$dx = \sec^2 	heta \, d	heta$ મળે.જ્યારે $x 	o 0$

Vedclass · Accepted Answer

$0$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_{0}^{\infty} \frac{x \ln x}{(1 + x^2)^2} \, dx$.$x = 	an 	heta$ આદેશ લેતા,$dx = \sec^2 	heta \, d	heta$ મળે.જ્યારે $x 	o 0$,ત્યારે $	heta 	o 0$ અને જ્યારે $x 	o \infty$,ત્યારે $	heta 	o \frac{\pi}{2}$.આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:$I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{	an 	heta \ln(	an 	heta)}{(1 + 	an^2 	heta)^2} \sec^2 	heta \, d	heta$$1 + 	an^2 	heta = \sec^2 	heta$ હોવાથી:$I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{	an 	heta \ln(	an 	heta)}{\sec^4 	heta} \sec^2 	heta \, d	heta$$I = \int_{0}^{\pi/2} \sin 	heta \cos 	heta \ln(	an 	heta) \, d	heta$$\sin 	heta \cos 	heta = \frac{1}{2} \sin 2	heta$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} \sin 2	heta \ln(	an 	heta) \, d	heta$ધારો કે $J = \int_{0}^{\pi/2} \sin 2	heta \ln(	an 	heta) \, d	heta$. ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$J = \int_{0}^{\pi/2} \sin(2(\frac{\pi}{2} - 	heta)) \ln(	an(\frac{\pi}{2} - 	heta)) \, d	heta$$J = \int_{0}^{\pi/2} \sin(\pi - 2	heta) \ln(\cot 	heta) \, d	heta$$J = \int_{0}^{\pi/2} \sin 2	heta \ln(\cot 	heta) \, d	heta$$J = \int_{0}^{\pi/2} \sin 2	heta (-\ln(	an 	heta)) \, d	heta = -J$આમ,$2J = 0$,જેનો અર્થ છે કે $J = 0$. તેથી,$I = 0$.

$\int_{0}^{\infty} \frac{x \ln x}{(1 + x^2)^2} \, dx$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\int_{0}^{\pi /2} {\sin 2x \log \tan x \, dx}$ ની કિંમત શોધો.

સંકલન $\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1+a^x} dx$ નું મૂલ્ય,જ્યાં $a > 0$,શું છે?

જો $I_1 = \int\limits_0^1 {{e^{ - x}}} {\cos ^2}x\,dx$,$I_2 = \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^2}}}} {\cos ^2}x\,dx$ અને $I_3 = \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^3}}}} dx$ હોય; તો

ધારો કે $f:R \to R$ અને $g:R \to R$ સતત વિધેયો છે,તો સંકલન $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} [f(x) + f(-x)][g(x) - g(-x)] \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$f(x) = x^4 + |x|$ માટે,ધારો કે $I_1 = \int_{0}^{\pi} f(\cos x) dx$ અને $I_2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx$ છે. તો $\frac{I_1}{I_2}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module