int_{0}^{infty} frac{x ln x}{(1 + x^2)^2} , d | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{0}^{\infty} \frac{x \ln x}{(1 + x^2)^2} \, dx$.$x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^2 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता

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(A) माना $I = \int_{0}^{\infty} \frac{x \ln x}{(1 + x^2)^2} \, dx$.$x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^2 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता है।जब $x 	o 0$,तब $	heta 	o 0$ और जब $x 	o \infty$,तब $	heta 	o \frac{\pi}{2}$।इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{	an 	heta \ln(	an 	heta)}{(1 + 	an^2 	heta)^2} \sec^2 	heta \, d	heta$चूंकि $1 + 	an^2 	heta = \sec^2 	heta$,इसलिए:$I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{	an 	heta \ln(	an 	heta)}{\sec^4 	heta} \sec^2 	heta \, d	heta$$I = \int_{0}^{\pi/2} \sin 	heta \cos 	heta \ln(	an 	heta) \, d	heta$$\sin 	heta \cos 	heta = \frac{1}{2} \sin 2	heta$ का उपयोग करने पर:$I = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} \sin 2	heta \ln(	an 	heta) \, d	heta$माना $J = \int_{0}^{\pi/2} \sin 2	heta \ln(	an 	heta) \, d	heta$। गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:$J = \int_{0}^{\pi/2} \sin(2(\frac{\pi}{2} - 	heta)) \ln(	an(\frac{\pi}{2} - 	heta)) \, d	heta$$J = \int_{0}^{\pi/2} \sin(\pi - 2	heta) \ln(\cot 	heta) \, d	heta$$J = \int_{0}^{\pi/2} \sin 2	heta \ln(\cot 	heta) \, d	heta$$J = \int_{0}^{\pi/2} \sin 2	heta (-\ln(	an 	heta)) \, d	heta = -J$अतः,$2J = 0$,जिसका अर्थ है $J = 0$। इसलिए,$I = 0$।

$\int_{0}^{\infty} \frac{x \ln x}{(1 + x^2)^2} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x+\cos x}{3+\sin 2 x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin^{2} x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $F(x) = \int_0^x \log \left( \frac{1 - t}{1 + t} \right) \,dt$ है

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