यदि दो धनात्मक संख्याओं का समांतर माध्य और गु | vedclass

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Question

(C) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।दिया गया है कि $A = \frac{a+b}{2}$ और $G = \sqrt{ab}$.इससे हमें $a+b = 2A$ और $ab = G^2$ प्राप्त होता है।हम जान

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$A \pm \sqrt{A^2 - G^2}$

Vedclass · Answer

(C) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।दिया गया है कि $A = \frac{a+b}{2}$ और $G = \sqrt{ab}$.इससे हमें $a+b = 2A$ और $ab = G^2$ प्राप्त होता है।हम जानते हैं कि $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$.मान रखने पर,$(a-b)^2 = (2A)^2 - 4G^2 = 4(A^2 - G^2)$.अतः,$a-b = 2\sqrt{A^2 - G^2}$ (मानते हुए कि $a > b$).समीकरणों $a+b = 2A$ और $a-b = 2\sqrt{A^2 - G^2}$ को जोड़ने पर,$2a = 2A + 2\sqrt{A^2 - G^2}$,जिसका अर्थ है $a = A + \sqrt{A^2 - G^2}$.समीकरणों को घटाने पर,$2b = 2A - 2\sqrt{A^2 - G^2}$,जिसका अर्थ है $b = A - \sqrt{A^2 - G^2}$.अतः,अभीष्ट संख्याएँ $A \pm \sqrt{A^2 - G^2}$ हैं।

यदि दो धनात्मक संख्याओं का समांतर माध्य और गुणोत्तर माध्य क्रमशः $A$ और $G$ हैं,तो वे संख्याएँ .......... हैं।

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मान लीजिए कि $\frac{1}{16}, a$ और $b$ एक $G.P.$ में हैं और $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, 6$ एक $A.P.$ में हैं,जहाँ $a, b > 0$ है। तो $72(a + b)$ का मान ...... है।

यदि दो संख्याओं $a$ और $b$ का समांतर माध्य उनके गुणोत्तर माध्य का दोगुना है,तो $a : b = \dots$

यदि एक $A.P.$,$G.P.$ और $H.P.$ के प्रथम और $(2n - 1)^{th}$ पद समान हैं और उनके $n^{th}$ पद क्रमशः $a, b$ और $c$ हैं,तो:

यदि $a_1, a_2, \dots, a_n$ ऐसी धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं कि $a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n = 1$ है,तो उनका योग है:

यदि $a$ और $b$,$x^{2}-3x+p=0$ के मूल हैं और $c$ और $d$,$x^{2}-12x+q=0$ के मूल हैं,जहाँ $a, b, c, d$ एक $G.P.$ बनाते हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $(q+p):(q-p)=17:15$ है।

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